Bài này dài quá nên xin trả lời ngắn gọn là p thuộc {2;7;11}
Tham khảo tại :
https://julielltv.wordpress.com/2013/09/02/bai-toan-so-chinh-phuong-phuong-trinh-nghiem-nguyen/
_Minh ngụy_
Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2018 - 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh - THCS.TOANMATH.com
đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019 thì phải
rảnh mai m up cho :))
đặt \(p^3-4p+9=t^2\left(t\in N\right)\)
Biến đổi thành : \(p\left(p^2-4\right)=\left(t-3\right)\left(t+3\right)\)( 1 )
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t-3⋮p\\t+3⋮p\end{cases}}\)
+) TH1 : \(t-3⋮p\). đặt \(t-3=pk\left(k\in N\right)\)
Thay vào ( 1 ),ta có : \(p\left(p^2-4\right)=pk\left(pk+6\right)\Rightarrow p^2-pk^2-6k-4=0\)
để tồn tại nghiệm của phương trình là :
\(\Delta=k^4+4\left(6k+4\right)=k^4+24k+16\)là 1 số chính phương
mặt khác với k > 3,ta c/m đc : \(\left(k^2\right)^2< k^4+24k+16< \left(k^2+4\right)^2\)
\(\Rightarrow k^4+24k+16=\left(k^2+1\right)^2=k^4+2k^2+1\Rightarrow2k^2-24k-15=0\)( loại vì k thuộc N ( gt ) )
\(k^4+24k+16=\left(k^2+2\right)^2=k^4+4k^2+4\Leftrightarrow4k^2-24k-12=0\)( loại vì ... )
\(k^4+24k+16=\left(k^2+3\right)^2=k^4+6k^2+9\Leftrightarrow6k^2-24k-7=0\)( loại vì .... )
do đó : \(k\le3\) . thử k = 1,2,3 ta thấy k = 3 thỏa mãn
từ đó tìm được p = 11
tương tự với trường hợp còn lại , ta tìm được p = 2,7
vậy ...