Ta có: \(\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\)
\(=>\sqrt{x}+\sqrt{y}=20\sqrt{5}\)
Mà \(20\sqrt{5}\) là tổng của hai căn thức \(=>20\sqrt{5}=k\sqrt{5}+m\sqrt{5}\) (m,k là STN vì x,y là STN)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=k\sqrt{5}\\\sqrt{y}=m\sqrt{5}\end{matrix}\right.=>k\sqrt{5}+m\sqrt{5}=20\sqrt{5}\left(m,k\in N;m,k\le20\right)\)
\(=>k+m=20\)
\(=>\left\{{}\begin{matrix}x=5k^2\\y=5m^2\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(\left(x;y\right)=\left(5k^2;5m^2\right)\) (với \(m+k=20;m,k\in N\)
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2000\left(x;y\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=2000\left(1\right)\)
Áp dụng Bđt Cauchy ta được : \(\)
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge4\sqrt{xy}\left(2\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow4x=2000\)
\(\Leftrightarrow x=500\left(tm\right)\)
Vậy với \(x=y=500\) thỏa mãn đề bài.