Xét \(x=0\) không phải là nghiệm của phương trình .
Chia cả 2 vế cho \(x^2\) ta được :
\(x^2+2x+1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(2x+\frac{2}{x}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+2\left(x+\frac{1}{x}\right)-1=0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a\) . Phương trình trở thành :
\(a^2+2a-1=0\)
\(\Delta=4+4=8\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}\\a_2=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Với \(a=-1+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-1+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x^2+\left(1-\sqrt{2}\right)x+1=0\)
Phương trình vô nghiệm .
Với \(a=-1-\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-1-\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x^2+\left(1+\sqrt{2}\right)x+1=0\)
\(\Delta=3+2\sqrt{2}-4=2\sqrt{2}-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\\x_1=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\end{matrix}\right.\)
Nghiệm rất xấu nên không thể tách một cách đẹp mắt, dùng casio ta tách được biểu thức như sau:
\(\left(x^2+\left(\sqrt{2}+1\right)x+1\right)\left(x^2-\left(\sqrt{2}-1\right)x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+\left(\sqrt{2}+1\right)x+1=0\\x^2-\left(\sqrt{2}-1\right)x+1=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\frac{-\left(\sqrt{2}+1\right)\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}\)