Ta có:
n - 1
------ ∈ ℤ
n + 3
Khi đó, ta có thể viết n - 1 dưới dạng (n + 3)k + r, với k là số nguyên và 0 ≤ r < n + 3.
Vì n - 1 < n + 3, n - (n + 3) < 1, suy ra r = n - 1.
Thay r = n - 1 vào phương trình ban đầu, ta được:
n - 1
------ = k
n + 3
n - 1 = k(n + 3)
n - kn = 3k + 1
n(1 - k) = 3k + 1
Ta thấy rằng 1 - k không thể âm, vì nếu như vậy thì n sẽ âm, điều này không đúng vì n thuộc N.
Nếu 1 - k = 1, ta có n = 4.
Nếu 1 - k > 1, ta có:
n = (3k + 1)/(1 - k)
Do đó, 1 - k phải chia hết cho 3k + 1 để n là số nguyên dương.
Ta thử với k = 1, 2, 3,… và tính giá trị tương ứng của 1 - k. Khi đó, ta được:
k1 - k| 1 | 0 |
| 2 | -1 |
| 3 | -2 |
| 4 | -3 |
| 5 | -4 |
| 6 | -5 |
Ta thấy rằng 3k + 1 không chia hết cho 1 - k với bất kỳ giá trị k nào lớn hơn 1. Do đó, n = 4 là duy nhất.
Vậy n = 4 là giá trị nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Để A nguyên thì n+3-4 chia hết cho n+3
=>\(n+3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)
=>\(n\in\left\{-2;-4;-1;-5;1;-7\right\}\)