Question

TÌM N ĐỂ N(N+2) LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG .

Answer 1

Để n(n+2) là số chính phương, xảy ra 2 TH:

TH1 : n = 0 => n(n+2) = 0 = 0.0 = 0²

TH2 : n > 1

=> n < n + 2

=> n.n < (n+2)n

=> n² < n(n+2)    (1)

n(n+2) < n(n+2) + 1

=> n(n+2) < n² + 2n + 1

=> n(n+2) < (n+1)²

Từ (1)(2) có : n² < n(n+1) < (n+1)²

=> K có n t/m TH2

Vậy n = 0

Answer 2

\(n\left(n+2\right)\)là số chính phương nên đặt \(n\left(n+2\right)=a^2\)

\(\Leftrightarrow n^2+2n+1-1=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2-1=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2-a^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1-a\right)\left(n+1+a\right)=1=1.1.=\left(-1\right).\left(-1\right)\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}n+1-a=1\\n+1+a=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-a=1\\n+a=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n=\frac{1}{2}\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\left(L\right)\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}n+1-a=-1\\n+1+a=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n-a=0\\n+a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n=0\\a=0\end{cases}}\)

Vậy n = 0