a: \(y=\left(x^2-1\right)^2\)
=>\(y'=2\left(x^2-1\right)'\left(x^2-1\right)\)
\(=4x\left(x^2-1\right)\)
Đặt y'>0
=>\(x\left(x^2-1\right)>0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2-1>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
=>\(x>1\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x^2-1< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\-1< x< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1< x< 0\)
Đặt y'<0
=>\(x\left(x^2-1\right)< 0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2-1< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\-1< x< 1\end{matrix}\right.\)
=>0<x<1
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x^2-1>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x^2>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
=>x<-1
Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(1;+\infty\right);\left(-1;0\right)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và \(\left(-\infty;-1\right)\)
b: \(y=\left(3x+4\right)^3\)
=>\(y'=3\left(3x+4\right)'\left(3x+4\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y'=9\left(3x+4\right)^2>=0\forall x\)
=>Hàm số luôn đồng biến trên R
c: \(y=\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)\)
=>\(y=\left(x^2+6x+9\right)\left(x-1\right)\)
=>\(y'=\left(x^2+6x+9\right)'\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+9\right)\left(x-1\right)'\)
=>\(y'=\left(2x+6\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+9\)
=>\(y'=2x^2-2x+6x-6+x^2+6x+9\)
=>\(y'=3x^2-2x+3\)
\(\Leftrightarrow y'=3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x+1\right)\)
=>\(y'=3\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{8}{9}\right)\)
=>\(y'=3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}>=\dfrac{8}{3}>0\forall x\)
=>Hàm số luôn đồng biến trên R
d: \(y=\left(2x+2\right)\left(x^3-1\right)\)
=>\(y'=\left(2x+2\right)'\left(x^3-1\right)+\left(2x+2\right)\left(x^3-1\right)'\)
\(=2\left(x^3-1\right)+3x^2\left(2x+2\right)\)
\(=2x^3-2+6x^3+6x^2\)
\(=8x^3+6x^2-2\)
Đặt y'>0
=>\(8x^3+6x^2-2>0\)
=>\(x>0,46\)
Đặt y'<0
=>\(8x^3+6x^2-2< 0\)
=>\(x< 0,46\)
Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng tầm \(\left(0,46;+\infty\right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng tầm \(\left(-\infty;0,46\right)\)