Question

tìm hệ số không phụ thuộc vào x trong các khai triển sau:

a, \(\left(x^3+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)^{60}\)

b, \((\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}}+x\sqrt[3]{x})^{12}\)

c, \(\left(1+\frac{1}{\sqrt[4]{x^2}}-x^3\right)^{16}\)

Answer 1

a/ \(\left(x^3+x^{-\frac{2}{3}}\right)^{60}\)

SHTQ: \(C_{60}^k\left(x^3\right)^k\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^{60-k}=C_{60}^kx^{\frac{11k}{3}-40}\)

Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow\frac{11k}{3}-40=0\Rightarrow\) ko tồn tại k nguyên thỏa mãn

Vậy trong khai triển ko chứa số hạng ko phụ thuộc x

b/ \(\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{\frac{4}{3}}\right)^{12}\)

SHTQ: \(C_{12}^k\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{12-k}=C_{12}^kx^{16-2k}\)

Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow16-2k=0\Rightarrow k=8\)

Hệ số: \(C_{12}^8\)

c/ \(\left(1+x^{-\frac{1}{2}}-x^3\right)^{16}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_{-\frac{1}{2}}+k_3=16\\-\frac{1}{2}k_{-\frac{1}{2}}+3k_3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(k_0;k_{-\frac{1}{2}};k_3\right)=\left(16;0;0\right);\left(9;6;1\right);\left(2;12;2\right)\)

Hệ số của số hạng ko chứa x:

\(\frac{16!}{16!}+\frac{16!}{9!.6!}.\left(-1\right)+\frac{16!}{2!.12!.2!}=-69159\)