Question

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x² + y²

Biết x và y là các số thực thỏa mãn : x² + y² - xy = 4

Answer 1

Vì \(x,y>0\) nên \(\dfrac{A}{4}=\dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\left(a>0\right)\) thì ta có:

\(\dfrac{A}{4}=\dfrac{a^2+1}{a^2-a+1}\Leftrightarrow A\left(a^2-a+1\right)=4\left(a^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(A-4\right)-Aa+A-4=0\)

Ta có: \(\Delta=A^2-4\left(A-4\right)^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\le A\le8\)

Answer 2

Tìm min:

Ta có: \(x^2+y^2-xy=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\le4+\dfrac{x^2+y^2}{2}\) (Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\dfrac{A}{2}\le4\)

\(\Leftrightarrow A\le8\)

Tìm Max

\(x^2+y^2-xy=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=8+\left(x+y\right)^2\ge8\)

\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{8}{3}\)