Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của  x² + xy + y² - 3x - 3y + 2008

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

$A=x^2+xy+y^2-3x-3y+2008$
$2A=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+4016$

$=(x^2+2xy+y^2)-4(x+y)+4+ (x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+ 4010$

$=(x+y)^2-4(x+y)+4+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+4010$

$=(x+y-2)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+4010\geq 4010$

$\Rightarrow A\geq 2005$

Vậy $A_{\min}=2005$

Giá trị này đạt tại $x+y-2=x-1=y-1=0$

$\Leftrightarrow x=y=1$