Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

Answer 1

Bạn cần bổ sung thêm điều kiện về x để tính min.

Answer 2

Lời giải:

$A=\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)+1}{\sqrt{x}-1}$

$=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}$

$=(\sqrt{x}-1)+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$
Áp dụng BĐT AM-GM cho $\sqrt{x}-1$ và $\frac{1}{\sqrt{x}-1}$ dương với $x>1$

thì: 

$A\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\frac{1}{\sqrt{x}-1}}+1=2+1=3$
Vậy $A_{\min}=3$