Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x² + 5y² + 2xy - 4x - 8y + 2015

Answer 1

\(P=\left(x^2+2xy+y^2\right)-4x-4y+4+\left(4y^2-4y+1\right)+2010\)

     \(=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)+4+\left(2y-1\right)^2+2010\)

\(P=\left(x+y-2\right)^2+\left(2y-1\right)^2+2010\ge2010\)  với mọi  \(x,y\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\left(x+y-2\right)^2=0\)  và  \(\left(2y-1\right)^2=0\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x+y-2=0\)  và  \(2y-1=0\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x=2-y\)  và  \(y=\frac{1}{2}\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x=\frac{3}{2}\)  và  \(y=\frac{1}{2}\)

Vậy,  \(P_{min}=2010\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x=\frac{3}{2};\)  và  \(y=\frac{1}{2}\)