Question

tìm giá trị nhỏ nhất 

\(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}\)

với 0<x<2

Answer 1

\(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}\)( Điều kiện : \(x\ne0; x\ne2\))

   \(=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x+x}{x}=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\)

Do 0<x<2 nên 2-x > 0. Áp dụng bdt Cauchy cho 2 số dương, ta có

\(\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}\ge2\sqrt{\frac{9x}{2-x}\cdot\frac{2-x}{x}}=6\)\(\Leftrightarrow\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge7\Leftrightarrow A\ge7\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{9x}{2-x}=\frac{2-x}{x} \Leftrightarrow 9x^2=\left(2-x\right)^2\Leftrightarrow3x=2-x\)(  do \(x>0 ; 2-x>0\))

                     \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)(nhận)

Vậy GTNN của A là 7 tại x = 1/2