Để:
1111111*33333333 chia hết cho 7 thì:
⇒ 11111111*3333333 + (3 x 5) phải chia hết cho 7
⇒ 11111111+* x 100000000 + 33333333 + 15 chia hết cho 7
⇒ 44444459 + * x 100000000 chia hết cho 7
⇒ * = 2
Đặt \(x\) là số cần tìm ta được : \(A=\overline{11111111x33333333}\)
\(\)Ta làm phép tính sau :
\(1.3=3\rightarrow3+1=4.3=12\rightarrow12+1=13.4=52\rightarrow52+1=53.3=159\rightarrow159+1=160.3=480\rightarrow480+1=481.3=1443\rightarrow1443+1=1444.3=4332\rightarrow4332+1=4333.3=12999\)
\(\left(12999+x\right).3=3x+38997\)
\(3x+38997+3=3x+3900\rightarrow\left(3x+3900\right).3=9x+11700\)
\(9x+11700+3=9x+11703\rightarrow\left(9x+11703\right).3=27x+35109\)
\(27x+35109+3=27x+35112\rightarrow\left(27x+35112\right).3=81x+105336\rightarrow\left(81x+105336\right).3=243x+316017\)
\(243x+316017+3=243x+316020\rightarrow\left(243x+316020\right).3=729x+948060\)
\(729x+948060+3=729x+948063\rightarrow\left(729x+948063\right).3=2187x+\text{2844189}\)
\(2187x+2844192+3=2187x+2844192\rightarrow\left(2187x+2844192\right).3=6561x+8532576\)
\(6561x+8532576+3=6561x+8532579\rightarrow\left(6561x+8532579\right).3=19683x+25597737\)
\(19683x+25597737+3=19683x+25597740\)
Để \(A⋮7\Leftrightarrow19683x+25597740⋮7\)
mà \(25597740=3656820.7⋮7\)
\(19683\) \(⋮̸\) \(7\)
\(\Rightarrow x=7\)
Vậy \(x=7\) thỏa yêu cầu đề bài
Ta có tính chất sau: Cho số \(N=\overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}\). Ta xét dãy số \(\left(x_k\right)\) như sau: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=3a_1+a_2\\x_k=3x_{k-1}+a_{k+1}\end{matrix}\right.\left(2\le k\le n-1\right)\)
Khi đó nếu \(x_{n-1}⋮7\) thì \(N⋮7\).
Chứng minh: Thật vậy, ta thiết lập các mối quan hệ sau:
\(x_2=3x_1+a_3=3\left(3a_1+a_2\right)+a_3=9a_1+3a_2+a_3\)
\(x_3=3x_2+a_4=3\left(9a_1+3a_2+a_3\right)+a_4\) \(=27a_1+9a_2+3a_3+a_4\)
...
\(x_{n-1}=3^{n-1}a_1+3^{n-2}a_2+...+3^1.a_{n-1}+a_n\)
\(x_{n-1}=\left(3^{n-1}-10^{n-1}\right)a_1+\left(3^{n-2}-10^{n-2}\right)a_2\) \(+...+\left(3^1-10^1\right)a_{n-1}+\left(3^0-10^0\right)a_{n-1}\) \(+10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+...+10^1a_{n-1}+10^0a_n\)
\(x_{n-1}=\left(3^{n-1}-10^{n-1}\right)a_1+...+\left(3^0-10^0\right)a_n+N\)
Vì \(x_{n-1}⋮7\) và \(3^{n-i}-10^{n-i}⋮7\) nên suy ra \(N⋮7\), vậy tính chất được chứng minh.
Áp dụng tính chất cho số đã cho, ta chia số này thành 2 dãy:
\(\left(u_k\right):\left\{{}\begin{matrix}u_1=3.1+1=4\\u_k=3u_{k-1}+1\end{matrix}\right.\left(2\le k\le7\right)\)
Ta thấy \(u_k=3u_{k-1}+1\) \(\Leftrightarrow u_k+\dfrac{1}{2}=3\left(u_{k-1}+\dfrac{1}{2}\right)\)
Đặt \(v_k=u_k+\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{9}{2}\\v_k=3v_{k-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_k=3v_{k-1}=3^2.v_{k-2}=...=3^{k-1}v_1=\dfrac{9}{2}.3^{k-1}=\dfrac{3^{k+1}}{2}\)
\(\Rightarrow u_k=v_k-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3^{k+1}-1}{2}\) \(\Rightarrow u_7=\dfrac{3^8-1}{2}=3280\)
Ta thấy \(u_8=3u_7+x=9840+x\), \(u_9=3u_8+3=29523+3x\). Ta xét tiếp dãy: \(\left(u_l\right):\left\{{}\begin{matrix}u_9=29523+3x\\u_l=3u_{l-1}+3\end{matrix}\right.\left(10\le l\le16\right)\)
\(u_l=3u_{l-1}+3\) \(\Leftrightarrow u_l+\dfrac{3}{2}=3\left(u_{l-1}+\dfrac{3}{2}\right)\)
Đặt \(v_l=u_l+\dfrac{3}{2}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_9=3x+\dfrac{59049}{2}\\v_l=3v_{l-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_l=3v_{l-1}=3^2v_{l-2}=...=3^{l-9}v_9=\left(3x+\dfrac{59049}{2}\right).3^{l-9}\)
\(\Rightarrow u_l=v_l-\dfrac{3}{2}=3^{l-8}x+\dfrac{59049.3^{l-9}-3}{2}\)
\(\Rightarrow u_{16}=3^8x+64570080\)
Ta thấy số 64570090 chia 6 dư 1. Do đó để N chia hết cho 17 thì \(3^8x\) chia 7 dư 6. Mà \(3^8\) chia 7 dư 2 nên \(x\) chia 7 dư 3 \(\Rightarrow x=3\)
Vậy để 11111111*33333333 chia hết cho 7 thì * là 3.