Câu hỏi của Nguyễn Minh Khang

Question

Tìm các số tự nhiên x,n và các số nguyên tố p,q biết
a, pq+13;5p+q là số nguyên tố
b, (x^2+4x+32).(x+4)=p^n

#Toán lớp 6

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

a.Nếu p và q cùng lẻ $\Rightarrow pq+13$ là số chẵn lớn hơn 2 $\Rightarrow$ là hợp số (loại)Nếu p;q cùng chẵn $\Rightarrow5p+q$ là số chẵn lớn hơn 2 $\Rightarrow$ là hợp số (loại)$\Rightarrow$ p và q phải có 1 số chẵn, 1 số lẻTH1: p chẵn và q lẻ $\Rightarrow p=2$Khi đó $2q+13$ và $q+10$ đều là số nguyên tố- Nếu $q=3\Rightarrow2q+13=2.3+13=19$ là SNT và $q+10=13$ là SNT (thỏa mãn)- Với $q>3\Rightarrow q$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow q=3k+1$ hoặc $q=3k+2$Với $q=3k+1\Rightarrow2q+13=2\left(3k+1\right)=3\left(2k+5\right)⋮3$ là hợp sô (loại)Với $q=3k+2\Rightarrow q+10=3k+12=3\left(k+4\right)⋮3$ là hợp số (loại)TH2: p lẻ và q chẵn $\Rightarrow q=2$Khi đó $2p+13$ và $5p+2$ đều là số nguyên tố- Với $p=3\Rightarrow2p+13=19$ là SNT và $5p+2=17$ là SNT (thỏa mãn)- Với $p>3\Rightarrow p$ ko chia hết cho 3 $\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$Với $p=3k+1\Rightarrow2p+13=3\left(2p+5\right)⋮3$ là hợp số (loại)Với $p=3k+2\Rightarrow5p+2=3\left(5k+4\right)⋮3$ là hợp số (loại)Vậy $\left(p;q\right)=\left(2;3\right);\left(3;2\right)$ thỏa mãn yêu cầuCâu trả lời: a.Nếu p và q cùng lẻ $\Rightarrow pq+13$ là số chẵn lớn hơn 2 $\Rightarrow$ là hợp số (loại)Nếu p;q cùng chẵn $\Rightarrow5p+q$ là số chẵn lớn hơn 2 $\Rightarrow$ là hợp số (loại)$\Rightarrow$ p và q phải có 1 số chẵn, 1 số lẻTH1: p chẵn và q lẻ $\Rightarrow p=2$Khi đó $2q+13$ và $q+10$ đều là số nguyên tố- Nếu $q=3\Rightarrow2q+13=2.3+13=19$ là SNT và $q+10=13$ là SNT (thỏa mãn)- Với $q>3\Rightarrow q$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow q=3k+1$ hoặc $q=3k+2$Với $q=3k+1\Rightarrow2q+13=2\left(3k+1\right)=3\left(2k+5\right)⋮3$ là hợp sô (loại)Với $q=3k+2\Rightarrow q+10=3k+12=3\left(k+4\right)⋮3$ là hợp số (loại)TH2: p lẻ và q chẵn $\Rightarrow q=2$Khi đó $2p+13$ và $5p+2$ đều là số nguyên tố- Với $p=3\Rightarrow2p+13=19$ là SNT và $5p+2=17$ là SNT (thỏa mãn)- Với $p>3\Rightarrow p$ ko chia hết cho 3 $\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$Với $p=3k+1\Rightarrow2p+13=3\left(2p+5\right)⋮3$ là hợp số (loại)Với $p=3k+2\Rightarrow5p+2=3\left(5k+4\right)⋮3$ là hợp số (loại)Vậy $\left(p;q\right)=\left(2;3\right);\left(3;2\right)$ thỏa mãn yêu cầu

Nguyễn Việt Lâm · Answer

b.x là số tự nhiên $\Rightarrow x^2+4x+32>x+4$Do p là số nguyên tố mà $\left(x^2+4x+32\right)\left(x+4\right)=p^n$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+4x+32=p^a\x+4=p^b\end{matrix}\right.$ với $\left\{{}\begin{matrix}a>b\a+b=n\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\dfrac{x^2+4x+32}{x+4}=\dfrac{p^a}{p^b}$$\Rightarrow x+\dfrac{32}{x+4}=p^{a-b}$Do $p^{a-b}$ là số nguyên dương khi $a>b$ và x là số nguyên$\Rightarrow\dfrac{32}{x+4}$ là số nguyên$\Rightarrow x+4=Ư\left(32\right)$Mà $x+4\ge4\Rightarrow x+4=\left\{4;8;16;32\right\}$$\Rightarrow x=\left\{0;4;12;28\right\}$Thay vào $\left(x^2+4x+32\right)\left(x+4\right)=p^n$- Với $x=0\Rightarrow128=p^n\Rightarrow2^7=p^n\Rightarrow p=2;n=7$- Với $x=4\Rightarrow512=p^n\Rightarrow2^9=p^n\Rightarrow p=2;n=9$- Với $x=12\Rightarrow3584=p^n$ (loại do 3584 không phải lũy thừa của 1 SNT)- Với $x=28\Rightarrow29696=p^n$ (loại do 29696 không phải lũy thừa của 1 SNT)Vậy $\left(x;p;n\right)=\left(0;2;7\right);\left(4;2;9\right)$Câu trả lời: b.x là số tự nhiên $\Rightarrow x^2+4x+32>x+4$Do p là số nguyên tố mà $\left(x^2+4x+32\right)\left(x+4\right)=p^n$$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+4x+32=p^a\x+4=p^b\end{matrix}\right.$ với $\left\{{}\begin{matrix}a>b\a+b=n\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\dfrac{x^2+4x+32}{x+4}=\dfrac{p^a}{p^b}$$\Rightarrow x+\dfrac{32}{x+4}=p^{a-b}$Do $p^{a-b}$ là số nguyên dương khi $a>b$ và x là số nguyên$\Rightarrow\dfrac{32}{x+4}$ là số nguyên$\Rightarrow x+4=Ư\left(32\right)$Mà $x+4\ge4\Rightarrow x+4=\left\{4;8;16;32\right\}$$\Rightarrow x=\left\{0;4;12;28\right\}$Thay vào $\left(x^2+4x+32\right)\left(x+4\right)=p^n$- Với $x=0\Rightarrow128=p^n\Rightarrow2^7=p^n\Rightarrow p=2;n=7$- Với $x=4\Rightarrow512=p^n\Rightarrow2^9=p^n\Rightarrow p=2;n=9$- Với $x=12\Rightarrow3584=p^n$ (loại do 3584 không phải lũy thừa của 1 SNT)- Với $x=28\Rightarrow29696=p^n$ (loại do 29696 không phải lũy thừa của 1 SNT)Vậy $\left(x;p;n\right)=\left(0;2;7\right);\left(4;2;9\right)$

Câu hỏi

Khoá học trên OLM (olm.vn)