Question

Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn x^y=z-1

Answer 1

Do các số nguyên tố đều lớn hơn 1

\(\Rightarrow x^y>1\Rightarrow z-1>1\Rightarrow z>2\Rightarrow z\) lẻ

\(\Rightarrow z-1\) chẵn

\(\Rightarrow x^y\) chẵn \(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2\)

Pt trở thành: \(2^y=z-1\Rightarrow z=2^y+1\)

- Với \(y=2\Rightarrow z=5\) là SNT (thỏa mãn)

- Với \(y>2\Rightarrow y\) lẻ, đặt \(y=2k+1\) với \(k\ge1\)

\(\Rightarrow z=2^{2k+1}+1=2.4^k+1\)

Hiển nhiên \(z>3\), đồng thời do \(4\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow4^k\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2.4^k+1\equiv0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow z⋮3\) mà \(z>3\Rightarrow z\) là hợp số (ktm)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;5\right)\)

Answer 2

\(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,5.\right)\)