Question

Tìm các số nguyên \(n\) để \(B=n^2-n+13\) là số chính phương.

Answer 1

\(B=n^2-2.n.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+12,25=\)

\(=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2+12,25\ge12,25\)

B là số chính phương

\(\Rightarrow n^2-n+13=p^2\) 

\(\Leftrightarrow4n^2-4n+52=4p^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2+51=4p^2\)

\(\Leftrightarrow4p^2-\left(2n-1\right)^2=51\)

\(\Leftrightarrow\left(2p-2n+1\right)\left(2p+2n-1\right)=51\)

\(\Rightarrow\left(2p-2n+1\right)\) và \(\left(2p+2n-1\right)\) phải là ước của 51

\(=\left\{-51;-17;-3-1;1;3;17;51\right\}\)

Ta có các trường hợp

\(\left\{{}\begin{matrix}2p-2n+1=-51\\2p+2n-1=-1\end{matrix}\right.\) giải hệ để tìm n

Tương tự với các trường hợp khác

 

 

 

 

Answer 2

\(2p-2n+1\)	\(51\)	\(1\)	\(-51\)	\(-1\)	\(17\)	\(3\)	\(-17\)	\(-3\)
\(2p+2n-1\)	\(1\)	\(51\)	\(-1\)	\(-51\)	\(3\)	\(17\)	\(-3\)	\(-17\)
\(p\)	\(13\)	\(13\)	\(-13\)	\(-13\)	\(5\)	\(5\)	\(-5\)	\(-5\)
\(n\)	\(-12\)	\(13\)	\(13\)	\(-12\)	\(-3\)	\(4\)	\(4\)	\(-3\)