Question

Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a^3 + 3.a^2 + 5 = 5^b và a + 3 = 5^c

                                        ❗️❗️❗️HELP ME❗️❗️❗️

Answer 1

\(a^3+3a^2+5=5^b\)

\(\Rightarrow a^2\left(a+3\right)+5=5^b\)

\(\Rightarrow a^2.5^c+5=5^b\)

\(\Rightarrow a^2.5^{c-1}+1=5^{b-1}\) (1)

- TH1: \(b=1\Rightarrow a^2.5^{c-1}+1=1\)

\(\Rightarrow a^2.5^{c-1}=0\) (vô lý do \(a>0;5^{c-1}>0\))

- TH2: \(c=1\)

Từ \(a+3=5^c=5\Rightarrow a=2\)

Thế vào (1) \(\Rightarrow4+1=5^{b-1}\Rightarrow b-1=1\Rightarrow b=2\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}b>1\\c>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5^{b-1}⋮5\\5^{c-1}⋮5\end{matrix}\right.\)

(1) \(\Leftrightarrow5^{b-1}-a^2.5^{c-1}=1\)

Vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 nên ko tồn tại a;b;c thỏa mãn

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;1\right)\) là bộ số duy nhất thỏa mãn yêu cầu