Question

\(\text{cho a,b,c,d thỏa mãn }\)\(c^2+d^2=(a^2+b^2)^3\).CMR \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}\ge1\)

Mn giúp e với 

 

Answer 1

BĐT mà ghi thiếu điều kiện thì chết rồi, vì số thực, số dương, số không âm nó hoạt động khác nhau lắm 

Bunhiacopxki: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)^4\)

\(\Rightarrow ac+bd\le\left(a^2+b^2\right)^2\)

Do đó:

\(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ac+bd}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}=1\) (đpcm)

Answer 2

Đề bài sai: phản ví dụ:

\(a=b=-1\) ; \(c=d=2\)

Khi đó: \(c^2+d^2=\left(a^2+b^2\right)^3\) nhưng \(\dfrac{a^3}{c}+\dfrac{b^3}{d}=-1< 1\)