Question

Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : \(\tan A,\tan B,\tan C\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc B có thể có được ?

Answer 1

Theo giả thiết \(\tan A,\tan B,\tan C\) lập thành cấp số cộng thì ta có : \(\tan A+\tan C=2\tan B\)

\(\Leftrightarrow\tan A+\tan C=\frac{\sin\left(A+C\right)}{\cos A.\cos C}=\frac{\sin B}{\cos A.\cos C}\Rightarrow\frac{2\sin B}{\cos B}=\frac{\sin B}{\cos A.\cos C}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\cos B}=\frac{1}{\cos A.\cos C}\Leftrightarrow2\cos A.\cos C=\cos B\)

\(\Leftrightarrow\cos\left(A+C\right)+\cos\left(A-C\right)=\cos B\)

\(\Leftrightarrow-\cos B+\cos\left(A-C\right)=\cos B\Leftrightarrow\cos B=\frac{1}{2}\cos\left(A-C\right)\le\frac{1}{2}\left(2\right)\)

( Vì \(0 <\)\(\cos\left(A-C\right)\le1\) )

Do 0 < B \(\le\pi\Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của  \(B=\frac{\pi}{3}\)