Question

So sánh: \(\dfrac{1}{\sqrt{1.2005}} + \dfrac{1}{\sqrt{2.2004}} +...+ \dfrac{1}{\sqrt{2005.1}} và \dfrac{2005}{1003}\)

Answer 1

Với 2 số tự nhiên a;b khác nhau, ta có: \(2\sqrt{ab}< a+b\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{ab}}>\dfrac{2}{a+b}\).( Tự cm)

Đặt biểu thức vế trái là A thì:

\(A=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1.2005}}+\dfrac{1}{\sqrt{2.2004}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1002.1004}}\right)+\dfrac{1}{1003}\)

Áp dung bđt vừa cm, ta đc:

\(A>2\left(\dfrac{1}{1003}+\dfrac{1}{1003}+...+\dfrac{1}{1003}\right)+\dfrac{1}{1003}=\dfrac{2005}{2003}\)=> ĐPCM