1) Ta có :
\(\text{AB, AC}\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\text{(O) }\)tại \(\text{B,C (gt)}\)
mà \(OB=OC=bán.kính\)
\(\text{OA}\) là đường trung trực của \(\text{BC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\) (tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+ACO=180^o\)
\(\Rightarrow\text{Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.}\)
2) Ta có :
a) \(\widehat{BHP}=90^o\text{ }\text{(HQ vuông góc với BP)}\)
\(\widehat{BNP}=90^o\text{(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)}\)
\(\widehat{PBH}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta\text{BPN}\approx\Delta\text{SHB (g.g)}\)
b) \(\text{Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với SP tại I cắt MN tại Q.}\)
Xét \(\Delta SPQ\) và \(\Delta KPC\):
\(\widehat{SPQ}=\widehat{KPC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{SIQ}=\widehat{KCP}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta SPQ\approx\Delta KPC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{SP}{KP}=\dfrac{PQ}{KC}\left(1\right)\)
Ta lại có : \(\Delta\text{BPN}\approx\Delta\text{SHB (cmt)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BP}{SH}=\dfrac{PN}{HB}\)
mà \(PN=PH\) (P là trung điểm HN)
\(\Rightarrow\dfrac{BP}{SH}=\dfrac{PH}{HB}\)
\(\Rightarrow\Delta BHP\approx\Delta SHP\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{BP}{SH}=\dfrac{HP}{SP}\left(2\right)\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{BH}{SH}.\dfrac{SP}{KP}=\dfrac{HP}{SP}.\dfrac{PQ}{KC}\)
\(\Rightarrow HK.HQ=PQ.KC\left(đpcm\right)\)
1: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
