Question

M = x² + 3xy + 2y² 

N = x² - 2xy - y² 

CMR : M , N không đồng thời nhận giá trị âm 

Answer 1

Ta có:

\(M+N\)

\(=x^2+3xy+2y^2+x^2-2xy-y^2\)

\(=2x^2+xy+y^2\)

\(=x^2+2\cdot\dfrac{1}{2}y\cdot x+\dfrac{1}{4}y^2+x^2+\dfrac{3}{4}y^2\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+x^2+\dfrac{3}{4}y^2\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2\ge0\forall x,y\\x^2\ge0\forall x\\\dfrac{3}{4}y^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2+x^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow M+N\ge0\forall x,y\)

Nên M, N không đồng thời nhận giá trị âm