Bài 2:
a: Thay x=1 và y=2 vào (P), ta được:
\(a\cdot1^2+b\cdot1+1=2\)
=>a+b=1(1)
Thay x=-2 và y=11 vào (P), ta được:
\(a\cdot\left(-2\right)^2+b\cdot\left(-2\right)+1=11\)
=>4a-2b=10
=>2a-b=5(2)
Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a-b=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+2a-b=1+5\\a+b=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3a=6\\b=1-a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1-2=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy: (P): \(y=2x^2-x+1\)
b: Đỉnh I(1;0)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=1\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\b^2-4ac=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\\left(-2a\right)^2-4a\cdot1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2a\\4a^2-4a=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}4a\left(a-1\right)=0\\b=-2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-2\cdot1=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy: (P): \(y=x^2-2x+1\)
c: Đỉnh I(-3;2)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{2a}=-3\\-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{2a}=3\\b^2-4ac=-8a\\\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(-4\right)}{2a}=3\\\left(-4\right)^2-4ac=-8a\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{2}{a}=3\\16-4ac=-8a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{2}{3}\\16-4\cdot\dfrac{-2}{3}\cdot c=-8\cdot\dfrac{-2}{3}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{2}{3}\\16+\dfrac{8}{3}c=\dfrac{16}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{2}{3}\\\dfrac{8}{3}c=\dfrac{16}{3}-16=-\dfrac{32}{3}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{2}{3}\\c=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy: (P): \(y=-\dfrac{2}{3}x^2-4x-4\)
d: Hoành độ đỉnh là -2 nên \(-\dfrac{b}{2a}=-2\)
=>\(b=4a\)
=>(P): \(y=ax^2+4a\cdot x+1\)
Thay x=1 và y=4 vào (P), ta được:
\(a\cdot1^2+4a\cdot1+1=4\)
=>5a=3
=>\(a=\dfrac{3}{5}\)
\(b=4a=4\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{5}\)
Vậy: (P): \(y=\dfrac{3}{5}x^2+\dfrac{12}{5}x+1\)
Bài 3:
a: (P) có trục đối xứng là đường thẳng x=-1 nên \(-\dfrac{b}{2a}=-1\)
=>b=2a
=>(P): \(y=ax^2+2a\cdot x\)
Thay x=3 và y=0 vào (P), ta được:
\(a\cdot3^2+2a\cdot3=0\)
=>15a=0
=>a=0(loại)
vậy: \(\left(a;b\right)\in\varnothing\)
b: (P) nhận đường thẳng x=-1 làm trục đối xứng
=>\(-\dfrac{b}{2a}=-1\)
=>\(\dfrac{b}{2a}=1\)
=>\(\dfrac{b}{2\cdot2}=1\)
=>b=4
=>(P): \(y=2x^2+4x+c\)
Thay x=-2 và y=5 vào (P), ta được:
\(c+2\cdot\left(-2\right)^2+4\cdot\left(-2\right)=5\)
=>c+8-8=5
=>c=5