Question

hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x-ay=a\\ax+y=1\end{matrix}\right.\)

a. Chứng minh hpt có nghiệm với mọi a

b. Tìm a để hệ có nghiệm thỏa mãn x>0,y>0

Answer 1

Lời giải:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=ay+a\\ ax+y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a(ay+a)+y=1\)

\(\Leftrightarrow y(a^2+1)=1-a^2(*)\)

Ta thấy $a^2+1\neq 0$ với mọi $a$ nên PT $(*)$ luôn có nghiệm duy nhất $y=\frac{1-a^2}{a^2+1}$

$\Rightarrow x=ay+a=\frac{2a}{a^2+1}$

Vậy HPT luôn có nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{2a}{a^2+1}; \frac{1-a^2}{a^2+1})$ với mọi $a$

b)

Để $x,y>0$ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2a}{a^2+1}>0\\ \frac{1-a^2}{a^1+1}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a>0\\ 1-a^2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>0\\ 1> a>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 1>a>0\)