Question

hàm số y=x^2-mx+m-1

gọi x1,x2 là giao điểm các hoành độ hàm số đối với trục Ox

tìm m để P=(2x1x2+3)/(x1^2+x2^2+2x1x2+2)

đạt GTLN

Answer 1

\(y=x^2-mx+m-1\)

\(\Delta\ge0\Leftrightarrow m^2-4\left(m-1\right)\ge0\Leftrightarrow m^2-4m+4\ge0\left(luôn-đúng\right)\)

\(vi-ét\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=m\\x1x2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{2x1x2+3}{x1^2+x2^2+2x1x2+2}=\dfrac{2m-2+3}{\left(x1+x2\right)^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(\Leftrightarrow P\left(m^2+2\right)=2m+1\)

\(\Leftrightarrow Pm^2-2m+2P-1=0\)

\(TH1:P=0\Rightarrow-2m-1=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow maxP=0\)

\(TH2:P\ne0\Rightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow4-4P\left(2P-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-8P^2+4P+4\ge0\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le P\le1\Rightarrow maxP=1\)

\(\Rightarrow maxP=1\Leftrightarrow m=1\)