Question

Giúp vs mn ơi, cháy nhà đế nơi rồi:

Tìm m để \(\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=m\)có nghiệm duy nhất

Answer 1

Lời giải:

ĐKXĐ: $0\leq x\leq 4$

Để phương trình có nghiệm trước tiên \(m\geq0\)

Ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{4-x}=m\Rightarrow 4+2\sqrt{x(4-x)}=m^2\)

\(\Leftrightarrow x(4-x)=\left(\frac{m^2-4}{2}\right)^2\Leftrightarrow x^2-4x+\left(\frac{m^2-4}{2}\right)^2=0\) $(1)$

Trước tiên, để $(1)$ có nghiệm thì \(\Delta'=4-\left(\frac{m^2-4}{2}\right)^2\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{8}\geq m\)

Ta thấy PT $(1)$ có xảy ra 2TH: có một nghiệm kép hoặc hai nghiệm đều dương. Nếu PT $(1)$ có hai nghiệm đều dương thì đồng nghĩa với phương trình ban đầu cũng có hai nghiệm dương (không thỏa mãn). Do đó PT đã cho có nghiệm duy nhất khi PT $(1)$ có nghiệm kép, hay \(\Delta =0\Leftrightarrow m=\sqrt{8}\)