Question

Giúp em câu c với ạ

Answer 1

a: Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,D,H,E cùng thuộc một đường tròn

b: ΔAEH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IA

=>ΔIAE cân tại I

=>\(\widehat{AEI}=\widehat{IAE}=\widehat{FAB}\)

mà \(\widehat{FAB}=\widehat{OCE}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{AEI}=\widehat{OCE}\)

ΔEBC vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OC=OB

OE=OC nên ΔOEC cân tại O

=>\(\widehat{OEC}=\widehat{OCE}\)

\(\widehat{IEO}=\widehat{IEC}+\widehat{OEC}=\widehat{IEC}+\widehat{OCE}=\widehat{IEC}+\widehat{AEI}=90^0\)

=>EI\(\perp\)EO

c: ΔADH vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên ID=IH

mà IH=IE

nên ID=IE

=>I nằm trên đường trung trực của DE(1)

Ta có: ΔDBC vuông tại D

mà DO là đường trung tuyến

nên DO=OB

mà OB=OE

nên OE=OD

=>O nằm trên đường trung trực của DE(2)

Gọi K là giao điểm của OI và DE

Từ (1),(2) suy ra OI là đường trung trực của DE

=>OI\(\perp\)DE tại K và K là trung điểm của DE

Xét ΔIEO và ΔIDO có

IE=ID

EO=DO

IO chung

Do đó: ΔIEO=ΔIDO

=>\(\widehat{IEO}=\widehat{IDO}=90^0\)

Xét ΔIDO vuông tại D có DK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{DI^2}+\dfrac{1}{DO^2}\)

=>\(\dfrac{1}{4\cdot DK^2}=\dfrac{1}{DI^2\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot DO^2}\)

=>\(\dfrac{1}{\left(2DK\right)^2}=\dfrac{1}{\left(2DO\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2DI\right)^2}\)

=>\(\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}=\dfrac{1}{ED^2}\)