- Với \(x=2\) chuỗi hiển nhiên hội tụ
- Với \(x\ne2\):
\(u_{n+1}=\dfrac{\left(-1\right)^{n+1}\left(x-2\right)^{2n+2}}{\left(n^2+2n+2\right)4^{n+1}}\)
\(\lim\limits\left|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim\left|\dfrac{\left(-1\right)^{n+1}.\left(x-2\right)^{2n+2}}{\left(n^2+2n+2\right).4^{n+1}}.\dfrac{\left(n^2+1\right)4^n}{\left(-1\right)^n.\left(x-2\right)^{2n}}\right|\)
\(=\left|\dfrac{\left(x-2\right)^2}{4}\right|< 1\)
\(\Rightarrow-2< x-2< 2\Rightarrow0< x< 4\)
- Với \(x=4\) chuỗi trở thành: \(\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{\left(-1\right)^n.2^{2n}}{\left(n^2+1\right).4^n}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^2+1}\) hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz
- Với \(x=0\) chuổi trở thành \(\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^2+1}\) giống như trên hội tụ theo t/c Leibniz
Vậy miền hội tụ của chuỗi là \(x\in\left[0;4\right]\)
