Question

Giair Hệ phương trình nghiệm nguyên : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=3\\x^3+y^3+z^3=3\end{matrix}\right.\)

Answer 1

Lời giải:

Theo hằng đẳng thức đáng nhớ:

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$\Leftrightarrow 3=27-3(x+y)(y+z)(x+z)$

$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=8$Đặt $(x+y,y+z,x+z)=(a,b,c)$ thì $abc=8$ và $a+b+c=6$Do $a+b+c=6>0$ nên $(a,b,c)$ sẽ là 3 số dương hoặc $1$ dương $2$ âm.

TH1: $a,b,c$ đều dương.

Áp dụng BĐT AM-GM: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{8}=6$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

$\Leftrightarrow x+y=y+z=x+z=2\Leftrightarrow x=y=z=1$

TH2: $a,b,c$ có 1 số dương 2 số âm. Giả sử $a$ dương và $b,c$ âm.

$a+b+c=6$ nên $a>6$. Mà $abc=8$ nên $a=8$

$\Rightarrow bc=1$ và $b+c=-2$

$\Rightarrow b=c=-1$

$\Rightarrow x=y=4; z=-5$

Vậy $(x,y,z)=(1,1,1); (4,4,-5)$ và hoán vị.