Question

Giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A=\frac{x^2-2x+5}{x^2-2x+2}\)

Answer 1

\(A=\frac{x^2-2x+5}{x^2-2x+2}=\frac{x^2-2x+2+3}{x^2-2x+2}=1+\frac{3}{x^2-2x+2}\)

Để A đạt GTLN thì \(\frac{3}{x^2-2x+2}\) đạt GTLN <=> \(x^2-2x+2\) đạt GTNN

Ta có \(x^2-2x+2=\left(x-1\right)^2+1\ge1\forall x\)

=> GTNN của \(x^2-2x+2\) bằng 1 khi x = 1

Khi đó, Max A = \(1+\frac{3}{1}=1+3=4\)

Answer 2

Lời giải:
\(A=\frac{x^2-2x+5}{x^2-2x+2}=\frac{(x^2-2x+2)+3}{x^2-2x+2}=1+\frac{3}{x^2-2x+2}=1+\frac{3}{(x-1)^2+1}\)

Ta thấy \((x-1)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow (x-1)^2+1\geq 1\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{3}{(x-1)^2+1}\leq 1+\frac{3}{1}=4\)

Vậy GTLN của $A$ là $4$ khi \((x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1\)