Xác suất bạn đó đúng cả 50 câu là \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{50}\), sai cả 50 câu là \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50}\)
Giả sử bạn học sinh chọn được x câu đúng với \(0< x< 50\), trong 1 câu hỏi thì xác suất chọn được đáp án đúng là \(\dfrac{1}{4}\) và đáp án sai là \(\dfrac{3}{4}\)
Do đó xác suất để bạn đó đạt được x câu đúng là:
\(P\left(x\right)=C_{50}^x.\left(\dfrac{1}{4}\right)^x.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-x}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}P\left(x\right)\ge P\left(x-1\right)\\P\left(x\right)\ge P\left(x+1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C_{50}^x\left(\dfrac{1}{4}\right)^x\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-x}\ge C_{50}^{x-1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x-1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{51-x}\\C_{50}^x\left(\dfrac{1}{4}\right)^x\left(\dfrac{3}{4}\right)^{50-x}\ge C_{50}^{x+1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x+1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{49-x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{51-x}{4x}\ge\dfrac{3}{4}\\\dfrac{x+1}{50-x}.\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{47}{4}\le x\le\dfrac{51}{4}\Rightarrow x=12\)
Hay học sinh đó dễ đạt được \(2,4\) điểm nhất
