a) \(BC=HB+HC=9+16=25\left(cm\right)\)
\(AC^2=HC.BC=16.25=400\Rightarrow AC=20\left(cm\right)\)
\(AH^2=HC.HB=16.9=144\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)
\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=25^2-20^2=225\Rightarrow AB=15\left(cm\right)\)
\(tan\widehat{ABC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{15}{20}=0,75\Rightarrow\widehat{ABC}\approx37^o\)
b: Xét ΔBAD có
BH là đường cao
BH là đường trung tuyến
Do đó: ΔBAD cân tại B
=>BA=BD
ΔBAD cân tại B
mà BH là đường cao
nên BH là phân giác của góc ABD
Xét ΔBAC và ΔBDC có
BA=BD
\(\widehat{ABC}=\widehat{DBC}\)
BC chung
Do đó: ΔBAC=ΔBDC
=>\(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0\)
=>A,B,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
c: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\)
=>\(AE=\dfrac{AH^2}{AB}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\)
=>\(AF=\dfrac{AH^2}{AC}\)
Xét ΔEAH vuông tại E và ΔACB vuông tại A có
\(\widehat{EAH}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{B}\right)\)
Do đó: ΔEAH~ΔACB
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AH}{BC}\)
=>\(\dfrac{AH}{BC}=tanACE\)
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEHF là hình chữ nhật
=>\(HE\cdot HF=AF\cdot AE=\dfrac{AH^2}{AB}\cdot\dfrac{AH^2}{AC}\)
\(=AH^2\cdot\dfrac{AH^2}{AH\cdot BC}=AH^2\cdot\dfrac{AH}{BC}=AH^2\cdot tanACE\)