Question

CMR: \(x^4+y^4+z^4\) ≥ \(\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

Mong được giúp ạ

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$3(x^4+y^4+z^4)=(1^2+1^2+1^2)[(x^2)^2+(y^2)^2+(z^2)^2]$

$\geq (x^2+y^2+z^2)^2$
$\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{1}{x^2}=\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$

$\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2$

Answer 2

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^4+y^4\geq 2x^2y^2$

$y^4+z^4\geq 2y^2z^2$

$z^4+x^4\geq 2z^2x^2$
$\Rightarrow 2(x^4+y^4+z^4)\geq 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$

$\Rightarrow 3(x^4+y^4+z^4)\geq x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$

$\Rightarrow 3(x^4+y^4+z^4)\geq (x^2+y^2+z^2)^2$

$\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}$

Answer 3

Lời giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopxky: 3 ( x 4 + y 4 + z 4 ) = ( 1 2 + 1 2 + 1 2 ) [ ( x 2 ) 2 + ( y 2 ) 2 + ( z 2 ) 2 ] ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ⇒ x 4 + y 4 + z 4 ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 3 Ta có đpcm Dấu "=" xảy ra khi: 1 x 2 = 1 y 2 = 1 z 2 ⇔ x 2 = y 2 = z 2