NX

CMR: \(\frac{1}{6}<\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{4}\)

DT
1 tháng 2 2016 lúc 21:16

\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{100.101}\)

\(=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}=\frac{1}{5}-\frac{1}{101}=\frac{96}{505}>\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{100}<\frac{1}{4}\)

Suy ra: điều cần chứng minh

Bình luận (0)
HP
1 tháng 2 2016 lúc 21:16

đặt 1/5^2+1/6^2+,,,+1/100^2=A

*chứng minh A<1/4

ta có: \(\frac{1}{5^2}=\frac{1}{5.5}<\frac{1}{4.5}\)

\(\frac{1}{6^2}=\frac{1}{6.6}<\frac{1}{5.6}\)

...

\(\frac{1}{100^2}=\frac{1}{100.100}<\frac{1}{99.100}\)

\(=>A<\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)    
\(=>A<\frac{1}{4}-\frac{1}{100}<\frac{1}{4}=>A<\frac{1}{4}\left(1\right)\)

*chứng minh A>1/6

ta có \(\frac{1}{5^2}=\frac{1}{5.5}>\frac{1}{5.6}\)

\(\frac{1}{6^2}=\frac{1}{6.6}>\frac{1}{6.7}\)

...

\(\frac{1}{100^2}=\frac{1}{100.100}>\frac{1}{100.101}\)

\(=>A>\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{100.101}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\)

\(=>A>\frac{1}{5}-\frac{1}{101}>\frac{1}{6}=>A>\frac{1}{6}\) (2)

từ (1) và (2)=>1/6<A<1/4 hay 1/6<1/5^2+...+1/100^2<1/4(đpcm)

tick nhé

Bình luận (0)
BH
2 tháng 2 2016 lúc 14:09

1/4

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
TG
Xem chi tiết
TG
Xem chi tiết
NX
Xem chi tiết
MA
Xem chi tiết
HT
Xem chi tiết
TH
Xem chi tiết
PC
Xem chi tiết
LT
Xem chi tiết
TG
Xem chi tiết