Câu hỏi của Nguyễn Thị Anh Thư

Question

CMR bất đẳng thức: $\frac{a^2+b^2}{2}>=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

Trần Thanh Phương · Accepted Answer

$\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}$

$\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2\right)\ge2\left(a+b\right)^2$

$\Leftrightarrow4a^2+4b^2\ge2\left(a^2+2ab+b^2\right)$

$\Leftrightarrow4a^2+4b^2\ge2a^2+4ab+2b^2$

$\Leftrightarrow4a^2+4b^2-2a^2-4ab-2b^2\ge0$

$\Leftrightarrow2a^2-4ab+2b^2\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0$( bất đẳng thức luôn đúng )

VÌ bđt cuối đúng nên ta có bđt ban đầu cũng đúng

Ta có đpcmCâu trả lời: $\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$