Sử dụng phương pháp quy nạp toán học
Với n = 1, ta có:
1 = (1 + 1)/2 (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng với n = k >= 1 (k thuộc N*), tức là:
1 + 2 + 3 + 4 +.......+ k = k(1 + k)/2
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1, tức là:
1 + 2 + 3 + 4 + .......+ k +1 = (k + 1)(k + 2)/2 (*)
Biến đổi tương đương, ta có:
(*) <=> 1 + 2 + 3 + 4 +......+ k + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> (1 + 2 + 3 + 4 +......+ k) + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> k(k + 1)/2 + k + 1 = (k + 1)(k + 2)/2
<=> (k + 1)(k/2 + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 (đúng)
Đẳng thức trên đúng
Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được mệnh đề:
1 +2 + 3 + 4 +.......+ n = n(1 + n)/2
Đặt biểu thức là (*)
Với n=1
=> (*)<=> 1=\(\frac{1.\left(1+1\right)}{2}\)
Vậy với n=1 ( đúng )
Giả sử (*) đúng với n=k
=> (*) <=> 1+2+3+...+k = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)
Ta chứng minh n=k+1
Thật vậy n=k+1 thì
(*) <=> 1+3+3+...+k+k+1 = \(\frac{k+1.\left(k+2\right)}{2}\)
<=> \(\frac{K\left(k+1\right)}{2}+K+1=\frac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\)
<=> \(\frac{k}{2}+1=\frac{k+2}{2}\)
<=>\(\frac{k}{2}+1=\frac{k}{2}+1\left(đúng\right)\)
Vậy (*) đúng với n=k+1
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n ϵ N ( Khác 0 )
Số các số hạng từ 1 đến n là: (n-1):1+1=n (số hạng)
Vậy tổng của vế trái là: \(\frac{\left(n+1\right).n}{2}\) => đpcm.
từ 1 đến n có:n-1+1=n (số hạng)
=>\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
công thức tình tổng :(số đầu + số cuối ) x số số hạng :2