\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}=\frac{2x}{2\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{y}{z+x}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\) ; \(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)
Cộng vế với vế:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" không xảy ra
Có ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{z}+\frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x}+\frac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{y}>\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}+\frac{2}{\sqrt{z}}\)
Tìm hằng số a lớn nhất để BĐT sau đúng với mọi x,y,z dương
\(\frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge a\)
Tìm hằng số a lớn nhất để BĐT sau đúng với mọi x,y,z dương
\(\frac{x}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge a\)
Với ba số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
Tìm GTLN của Q=\(\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+yz}}\)
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) = 1
CMR \(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{x}{z}}\le1\)
Giải hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{8}{3}\\x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{118}{9}\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}-\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{y\sqrt{y}}-\frac{1}{z\sqrt{z}}=\frac{728}{27}\end{matrix}\right.\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=\(\sqrt{2}\).Tìm GTNN của biểu thức \(T=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
Cho x,y,z là các số dương và xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{xz}+x}\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\) chứng minh \(\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}\le\frac{1}{2}\)