Áp dụng cosi trực tiếp cho x,y,z>0 ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\);\(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\);\(\frac{x}{y}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\)
Cộng 3 vế của BĐT ta có :\(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge2\left(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{x}{z}}\right)\Rightarrow1\ge\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{x}{z}}\left(đpcm\right)\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=1
CMR: \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1=z^2}}\le\frac{3}{2}\)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn: \(x+y+z=3\). Chứng minh rằng: \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 chứng minh rằng \(\frac{x}{\sqrt{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y}{\sqrt{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z}{\sqrt{z+\sqrt{xy}}}\ge\frac{3}{2}\)
1 ) Cho a,b,c >0 và abc= 1.CMR:
\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
2 ) Cho x,y,z > 0 và x+y+z=3
CMR : \(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\) chứng minh \(\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}\le\frac{1}{2}\)
Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn:x+y+z=3
Chứng minh rằng:\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3x+xy}}\le1\)
Các pro giải hộ vs(làm cách mà hs lớp 9 hiểu đc nha)
Có ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{z}+\frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x}+\frac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{y}>\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}+\frac{2}{\sqrt{z}}\)
Với ba số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
Tìm GTLN của Q=\(\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+yz}}\)
Giải hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{8}{3}\\x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{118}{9}\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}-\frac{1}{x\sqrt{x}}-\frac{1}{y\sqrt{y}}-\frac{1}{z\sqrt{z}}=\frac{728}{27}\end{matrix}\right.\)