Question

CM: m² + n² + 2 \(\ge\) 2(m + n).

Answer 1

\(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)< =>m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)

\(< =>m^2-2m+1+n^2-2n+1\ge0\)

\(< =>\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall m,n\))

dấu'=' xảy ra<=>m=n=1

vậy \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

Answer 2

Bổ sung: $m,n$ là hai số không âm

$m^2+n^2+2\\=(m^2+1)+(n^2+1)$

Áp dụng BĐT Cô si với các số dương

$m^2+1\ge 2\sqrt{m^2.1}=2m\\n^2+1\ge 2\sqrt{n^2.1}=2n$

Cộng các vế của BĐT

$\Rightarrow m^2+1+n^2+1\ge 2m+2n\\\Leftrightarrow m^2+n^2+2\ge 2(m+n)$

$\Rightarrow $ Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}m^2=1\\n^2=1\end{cases}$

Mà $m,n$ là hai số dương

$\Rightarrow m=n=1$

Vậy BĐT được chứng minh