a) \(2^n>2n+1\) (1)
Với n=3 thì (1) <=> \(2^3>2.3+1\) (đúng)
Giả sử (1) đúng đến n=k => \(2^k-2k-1>0\)
Ta có: \(2^{k+1}-2\left(k+1\right)-1=2\left(2^k-2k-1\right)+2k-1>0\) (với \(k>3\))
=> \(2^{k+1}>2\left(k+1\right)+1\) (1) đúng đến n=k+1
Theo quy nạp thì (1) đúng
b) \(2^n\ge n^2\) (2)
Với n=4 thì (2) <=> \(2^4\ge4^2\) (đúng)
Giả sử (2) đúng đến n=k => \(2^k-k^2\ge0\)
Ta có: \(2^{k+1}-\left(k+1\right)^2=2\left(2^k-k^2\right)+\left(k-1\right)^2\ge0\)
=> \(2^{k+1}\ge\left(k+1\right)^2\) => (2) đúng đến n=k+1
Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng
