Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n   ≥   2 , ta có các bất đẳng thức:  2 n + 1   >   2 n   +   3

Answer 1

2n + 1 > 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3.

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2k+2 > 2(k+ 1)+ 3

Thật vậy, ta có:

2k + 2 = 2.2k + 1

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.