Question

Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 thì \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

Em chứng minh BĐT phụ này:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{2a-b}{2}\) (quy đồng rút gọn tương đương với \(b\left(a-b\right)^2\ge0\))

Làm tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng vế

Answer 2

Với mọi a,b,c > 0. Ta có : 

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2-b^2\right)}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab}{a^2+b^2}b\ge a-\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}{2}}{a^2+b^2}b=a-\dfrac{b}{2}\)

Tương tự, ta có :

\(\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\)

\(\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\)

Suy ra : 

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge a-\dfrac{b}{2}+b-\dfrac{c}{2}+c-\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)