1. Chứng minh: \(a^6+b^6+c^6\ge a^5b+ac^5+b^5c\) với \(a,b,c\ge0\)
2. Chứng minh rằng: với a,b,c > 0 thì \(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\)
3. Chứng minh rằng: \(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3\) với a,b,c > 0.
4. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh: \(\dfrac{1}{a+b};\dfrac{1}{a+c};\dfrac{1}{b+c}\) là độ dài của tam giác.
@Ace Legona @Akai Haruma
1) Cho a, b là các số dương chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) ≥ \(\frac{4}{a+b}\)
2) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}\) + \(\frac{1}{a+c-b}\) + \(\frac{1}{b+c-a}\) ≥ \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\)
Cho tam giác ABC nhọn AB < AC và các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: ∆ABE ∽ ∆ACF và AF.AB = AE.AC
b) Chứng minh: FA.FB = FH.FC
c) Đường thẳng qua B và song song với FE cắt AC tại M. Chứng minh rằng: ∆BCF ∽ ∆MBE.
d) Gọi I là trung điểm của BM, D là giao điểm của EI và BC. Chứng minh rằng: ba điểm A, H, D thẳng hàng.
Cho các số nguyên a,b,c sao cho \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)
a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tố
b) Chứng minh rằng nếu c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố
Chứng minh rằng với a, b, c, d tùy ý ta luôn có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)
Cho a.b.c=1 và a+b+c>1/a+1/b+1/c
Chứng minh rằng (a-1).(b-1).(c-1)>0
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng :
\(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}>1\)
Cho a, b, c, d là các số bất kì. Chứng minh rằng:
a4+b4+c4+d4 ≥ 4abcd
Cho abc= 1 và a+ b+ c=1/a +1/b +1/c . Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại một số bằng 1.
