Question

Cho các số nguyên a,b,c sao cho \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tố

b) Chứng minh rằng nếu c > 1 thì a + c và b + c không thể đồng thời là số nguyên tố

Answer 1

a) Ta có : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow ab=c\left(a+b\right)\)

Ta có : ab \(⋮\) ( a + b )

Nếu a + b là số nguyên tố thì a \(⋮\left(a+b\right)\) hoặc b \(⋮\) ( a + b )

\(\Rightarrow\) a > a + b hoặc b > a + b ( vì a , b \(\in\) N* ) ( Điều này là vô lí )

Như vậy a + b không thể là số nguyên tố

b) Ta có : (a + c ) ( b + c ) = ab + ac + bc + c² = ab + ( a + b ) c + c²

= 2( a + b )c + c² = c ( 2a + 2b + c )

\(\Rightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)⋮c\) ( 1 )

Nếu a + c và b + c đồng thời là số nguyên tố

Mà a + c > c , b + c > c . Do đó : ( a + c ) ( b + c ) \(⋮̸\) c ( 2 )

( 1 ) và ( 2 ) mâu thuẫn với nhau

Như vậy a + c và b + c không đồng thời là số nguyên tố