Câu hỏi của Hày Cưi

Question

Chứng minh rằng $4n^4+4n^3+6n^2+3n+2$ (n∈Z) không là số chính phương

Trần Trung Nguyên · Accepted Answer

Giả sử $4n^4+4n^3+6n^2+3n+2$ là một số chính phương Đặt A2=$4n^4+4n^3+6n^2+3n+2$ Ta có $A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+5n^2+2n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(4n^4+n^2+1+4n^3+4n^2+2n\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(2n^2+n+1\right)^2+\left(n^2+n+1\right)$ Ta có $n^2+n+1>0$ Vậy $A^2>\left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A>2n^2+n+1\left(1\right)$ Ta có $A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+9n^2+4n+4\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(4n^4+n^2+4+4n^3+8n^2+4n\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(2n^2+n+2\right)^2-\left(3n^2+n+2\right)$ Ta có $3n^2+n+2>0$ Vậy $A^2< \left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A< 2n^2+n+1\left(2\right)$ Từ (1),(2)$\Leftrightarrow2n^2+n+1< A< 2n^2+n+2$(vô lý với n$\in Z$) Vậy trái với giả sử Vậy $4n^4+4n^3+6n^2+3n+2$ không là số chính phương với $n\in Z$Câu trả lời: Giả sử $4n^4+4n^3+6n^2+3n+2$ là một số chính phương Đặt A2=$4n^4+4n^3+6n^2+3n+2$ Ta có $A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+5n^2+2n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(4n^4+n^2+1+4n^3+4n^2+2n\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(2n^2+n+1\right)^2+\left(n^2+n+1\right)$ Ta có $n^2+n+1>0$ Vậy $A^2>\left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A>2n^2+n+1\left(1\right)$ Ta có $A^2=4n^4+4n^3+6n^2+3n+2=\left(4n^4+4n^3+9n^2+4n+4\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(4n^4+n^2+4+4n^3+8n^2+4n\right)-\left(3n^2+n+2\right)=\left(2n^2+n+2\right)^2-\left(3n^2+n+2\right)$ Ta có $3n^2+n+2>0$ Vậy $A^2< \left(2n^2+n+1\right)^2\Leftrightarrow A< 2n^2+n+1\left(2\right)$ Từ (1),(2)$\Leftrightarrow2n^2+n+1< A< 2n^2+n+2$(vô lý với n$\in Z$) Vậy trái với giả sử Vậy $4n^4+4n^3+6n^2+3n+2$ không là số chính phương với $n\in Z$

Violympic toán 9

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)