Do p là số nguyên tố nên không là số chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của p có ít nhất một thừa số với số mũ lẻ, viết p=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k.
Vậy Căn (p) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ.
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2.
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn)
Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.
Vì p là số nguyên tố => p ko là số chính phương
Giả sử \(\sqrt{p}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{p}\) vt đc dưới dạng
\(\sqrt{p}=\frac{m}{n}\) với \(m,n\in N;n\ne0;\left(m,n\right)=1\)
Vì p ko là số chính phương nên \(\frac{m}{n}\) ko là số tự nhiên
=> n > 1
+ \(\sqrt{p}=\frac{m}{n}\Rightarrow m^2=n^2p\)
\(\Rightarrow m^2⋮n^2\) ( do p là số tự nhiên )
goi a là một ước nguyên tố nào đó của n
\(\Rightarrow m^2⋮a\Rightarrow m⋮a\)
=> a là ước nguyên tố của m và n ( trái với \(\left(m,n\right)=1\) )
Do đó \(\sqrt{p}\) là số vô tỉ