\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2\left(a+b+c+d\right)\) (1)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2-2a-2b-2c-2d+4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)+\left(d^2-2d+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(d-1\right)^2\ge0\) (2)
Vì BPT(2) luôn đúng nên bpt(1)| đúng
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\) \(\geq\) \(2.\left(a+b+c+d\right)\)(1)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2.\left(a+b+c+d\right)\)\(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) ( a2-2a+1 ) + (b2-2b+1) + (c2-2c+1) + (d2-2d+1) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(d-1)2 \(\geq\) 0(2)
Ta có BĐT(2) luôn đúng nên suy ra BĐT(1) đúng.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d.