Question

 

Chứng minh :

A= 1+3+3²+....+3⁹⁹ chia hết cho 4 và 40

D= 2 + 2² + ... +2⁹⁹ + 2 ^{100 chia hết} cho 15 ; tìm chữ số tận cùng

 So sánh:

5⁴⁰  và 620^{10 ;} 10³⁰ và 2^{100 ;} 333⁴⁴⁴ và 444^{333 ;}

Answer 1

A = (1+3+ 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) +  ...+ (3⁹⁶ + 3⁹⁷  + 3⁹⁸ + 3⁹⁹)  (Có 100 số nên có 25 nhóm, mỗi nhóm có 4 số )

A = 40. 1 + 3⁴.(1 + 3 + 3² + 3³) +...+ 3⁹⁶.(1 + 3 + 3² + 3³) = 40.1 + 40.3⁴ + ...+ 40.3⁹⁶ = 40.( 1+ 3⁴ + ... + 3⁹⁶)

=> A chia hết cho 4 và chia hết cho 40

D = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ...+ (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰) 

D = 30 .1 + 2⁵.  (2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ... + 2⁹⁷.  (2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) 

D = 30.1 + 30.2⁵ + ...+ 30.2⁹⁷ = 30. (1 + 2⁵ + ...+ 2⁹⁷)

=> D chia hết cho 30 nên chia hết cho 15 và D có tận cùng là 0

2) 5⁴⁰ = (5⁴)¹⁰  = 625¹⁰ > 620¹⁰  => 5⁴⁰ > 620¹⁰

10³⁰ = (10³)¹⁰ = 1000¹⁰ < 1024¹⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 2¹⁰⁰ 

333⁴⁴⁴ = (333⁴)¹¹¹ = (3⁴.111⁴)¹¹¹ = 81¹¹¹.111⁴⁴⁴

444³³³ = (444³)¹¹¹ = (4³.111³)¹¹¹ = 64¹¹¹.111³³³  <  81¹¹¹.111⁴⁴⁴

=> 333⁴⁴⁴ > 444³³³