Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(C_1\) và \(C_2\)
\(x^3-4mx+2=3x^2-4m\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-2x-4m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-2x-4m-2=0\left(2\right)\)(\(\Delta'=4m+3\)
Số giao điểm của \(C_1\) và \(C_2\) bằng số nghiệm của phương trình (1). Do đó
* \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m< -\frac{3}{4}:\left(2\right)\)vô nghiệm \(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm duy nhất (x = 1)
\(\Rightarrow\) \(C_1\) và \(C_2\) có một giao điểm
* \(\Delta'=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}:\left(2\right)\)trở thành \(x^2-2x+1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\), trong trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất (x = 1) \(\Rightarrow\) \(C_1\) và \(C_2\) có một giao điểm
* \(\Delta'>0\Leftrightarrow m>-\frac{3}{4}:\left(2\right)\) có 2 nghiệm phân biệt. Ta thấy \(t\left(1\right)=-4m-3\ne0\) với mọi \(m>-\frac{3}{4}\Rightarrow1\) không phải là nghiệm của (2) \(\Rightarrow\left(1\right)\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Rightarrow\) \(C_1\) và \(C_2\) có ba giao điểm
Kết luận :
- Với \(m\le-\frac{3}{4}\) \(C_1\) và \(C_2\) có một giao điểm
- Với \(m>-\frac{3}{4}\) \(C_1\) và \(C_2\) có 3 giao điểm
