Bài 5c.: Tương giao hai đồ thị. Biện luận số nghiệm phương trình.

Phương pháp chung :

Trong mặt phẳng (Oxy) hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số \(\begin{cases}\left(C_1\right):y=f\left(x\right)\\\left(C_2\right):y=g\left(x\right)\end{cases}\)

Số giao điểm của \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) là số nghiệm phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\left(1\right)\). Khi đó, bài toán quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1). Thông thường :

- Nếu (1) là phương trình trùng phương thì quy về phương trình bậc 2

- Nếu (1) là phương trình bậc 3 hoặc bậc cao thì ta có thể hướng đến 

      + Nếu cô lập được m đưa (1) thành : \(F\left(x\right)=h\left(m\right)\) thì bài toán quy về khảo sát hàm số \(y=F\left(x\right)\)

      + Nếu phương trình có nghiệm \(x=x_0\) thì đưa (1) thành : \(\left(x-x_0\right)h\left(x,m\right)=0\) và tiếp tục biện luận với phương trình \(h\left(x,m\right)=0\)

Các dạng bài tập :

Dạng 1 : Bài toán liên quan đến số giao điểm của hai đồ thị 

Ví dụ 1 : Tìm m để Parabol (P) : \(y=x^2-\left(2m+5\right)x+m^2+6m\) 

cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{-7x+3m^2+3}{x}\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Bài giải

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên là nghiệm của phương trình

        \(x^2-\left(2m+5\right)x+m^2+6m=\frac{-7x+3m^2+3}{x}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^3-\left(2m+5\right)x^2+\left(m^2+6m+7\right)x-3m^2-3=0\\x\ne0\end{cases}\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\) Phương trình (*) có ba nghiệm dương phân biệt khác không. Nhẩm nghiệm ta thấy phương trình luôn có nghiệm x=3 do đó dùng lược dồ hoocne ta có :

(*) \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+1\right]=0\) \(\Leftrightarrow x=3\) hoặc \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+1=0\) (**)

Phương trình (*) có ba nghiệm dương phân biệt khác không khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm phân biệt khác 3

\(\begin{cases}\Delta'>0\\P>0\\S>0\\3^2-2\left(m+1\right).3+m^2+1\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m+1\right)^2-m^2-1>0\\2\left(m+1\right)>0\\m^2+1>0\\m^2-6m+4\ne0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m>-1\\m\ne3\pm\sqrt{5}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m\ne3\pm\sqrt{5}\end{cases}\)

Vậy \(m>0;m\ne3\pm\sqrt{5}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=\left(m+1\right)x^4-4x^2+1\left(C\right)\). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại :

a) Ít nhất một điểm

b) Bốn điểm phân biệt

Bài giải

Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoàng là nghiệm của phương trình :

\(\left(m+1\right)x^4-4x^2+1=0\left(1\right)\)

Đặt \(t=x^2,t\ge0\) phương trình trở thành

\(\left(m+1\right)t^2-4t+1=0\left(2\right)\)

a) Đồ thị (C) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm <=> phương trình (2) có nghiệm không âm.

Với \(m=-1\), phương trình (2) trở thành \(-4t+1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{4}>0\) (thỏa mãn)

Với \(m\ne-1\) thì phương trình (2) là phương trình bậc 2, ta xét ba trường hợp sau:

  - Trường hợp 1 : (2) có hai nghiệm không âm

    \(\begin{cases}\Delta'\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}4-\left(m+1\right)\ge0\\\frac{4}{m+1}\ge0\\\frac{1}{m+1}\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\le3\\m>-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\)\(-1< m\)\(\le3\)

  - Trường hợp 2 : phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow P<0\Leftrightarrow\frac{1}{m+1}<0\Leftrightarrow m<-1\)

  - Trường hợp 3 : phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm (không xảy ra vì t=0 không là nghiệm của phương trình (2) với mọi m). 

Vậy \(m\le3\) là giá trị cần tìm

b) Đồ thị (C) và trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 4 nghiệm khác 0 <=> phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Với m= -1 dễ thấy không thỏa mãn (Phương trình (2) chỉ có 1 nghiệm dương)

Với \(m\ne-1\), phương trình (2) là phương trình bậc 2 

Phương trình (2) có hai nghiệm dương <=>\(\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}4-\left(m+1\right)>0\\\frac{4}{m+1}>0\\\frac{1}{m+1}>0\end{cases}\)  

<=>\(\begin{cases}m<3\\m>-1\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(-1< m < 3\)

Vậy \(-1 < m < 3\) là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 : Cho hàm số \(y=x^4-3x^2+m\) có đồ thị (C) và \(y=-4x^3+14x\)  có đồ thị (C'). Tìm m để (C) không cắt (C')

Bài giải :

 Hoành độ giao điểm (C) và (C') là nghiệm của phương trình

       \(x^4-3x^2+m=-4x^3+14x\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4+4x^3+4x^2\right)-\left(7x^2+14x\right)+m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-7\left(x^2+2x\right)+m=0\left(1\right)\)

Đặt \(t=x^2+2x,x^2+2x=\left(x+1\right)^2-1\ge-1\Rightarrow t\ge-1\)

Phương trình (1) trở thành \(t^2-7t+m=0\)  (2)

Ta có (C) và (C') cắt nhau khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm

<=> Phương trình (2) có nghiệm \(t\ge-1\)

Xét đồ thị hàm số \(y=t^2-7t+m\) trên \([-1; +\)\(\infty\))

Ta có bảng biến thiên :

Suy ra \(m\le0\) thì (C) và (C') cắt nhau

Vậy m>0 là giá trị cần tìm

Dạng 2 : Tương giao hai đồ thị hàm số có điều kiện hình học

Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có đồ thị hàm số (H). Tìm m để đường thẳng \(d:x+3y+m=0\) cắt (H) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại điểm A(1;0)

Bài giải

Ta có \(d:y=-\frac{1}{3}x-\frac{m}{3}\)

Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình : \(\frac{2x-3}{x-1}=-\frac{1}{3}x-\frac{m}{3}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2+\left(m+5\right)x-m-9=0\left(1\right)\\x\ne1\end{cases}\)

Để (H) cắt d tại hai điểm phân biệt thì \(\begin{cases}\Delta=\left(m+7\right)^2+12>0\\1+m+5-m-9\ne0\end{cases}\) (đúng với mọi m)

Do đó d luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt \(M\left(x_1;y_1\right);N\left(x_2;y_2\right)\)

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left(x_1-1;y_1\right);\overrightarrow{AN}=\left(x_2-1;y_2\right)\)

Tam giác AMN vuông tại A

   \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=0\) hay \(\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)+y_1y_2=0\)

  \(\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)+\frac{1}{9}\left(x_1+m\right)\left(x_2+m\right)=0\)

 \(\Leftrightarrow10x_1x_2+\left(m-9\right)\left(x_1+x_2\right)+m^2+9=0\left(2\right)\)

Áp dụng định lý Viet, ta có \(x_1+x_2=-m-5;x_1x_2=-m-9\)

Thay vào (2) ta được : 

\(10\left(-m-9\right)+\left(m-9\right)\left(-m-5\right)+m^2+9=0\)

\(\Leftrightarrow-6m-36=0\)

\(\Leftrightarrow m=-6\)

Vậy giá trị của m là \(m=-6\)

Ví dụ 2 : 

Cho hàm số \(y=\frac{2mx-3-2m}{x+2}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\) ( m là tham số). Xác định m để đường thẳng \(\Delta:y=x-2\) căt đồ thị  \(\left(C_m\right)\) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng \(45^0\)

Bài giải :

Phương trình hoành độ giao điểm :

\(\frac{2mx-3-2m}{x+2}=x-2\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1-2m\right)=0\left(x\ne-2\right)\) (*)

Đồ thị  \(\left(C_m\right)\) cắt đường thẳng \(\Delta\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2m-1\ne1\\2m-1\ne-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne1\\m\ne-\frac{1}{2}\end{cases}\)

Khi đó tọa độ hai giao điểm là \(A\left(1;-1\right);B\left(2m-1;2m-3\right)\) . Để góc giữa OA và OB bằng 45⁰ thì:

    \(\left|\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\right|=OA.OB.\cos45^0\)

   \(1.\left(2m-1\right)+\left(-1\right)\left(2m-3\right)=\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}\sqrt{\left(2m-1\right)^2+\left(2m-3\right)^2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{8m^2-16m+10}=2\)  

\(\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\) và \(m=\frac{1}{2}\)  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m=\frac{3}{2}\) và \(m=\frac{1}{2}\) là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 : 

Cho hàm số \(y=x^3+2mx^2+3\left(m-1\right)x+2\left(1\right)\), m là tham số thực. Tìm m để đồ thị  hàm số cắt đường thẳng \(\Delta:y=-x+2\) tại 3 điểm phân biệt A (0;2); B; C sao cho tam giác MBC có diện tích \(2\sqrt{2}\) với M (3;1)

Bài giải :

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với \(\left(\Delta\right)\) là 

\(x^3+2mx^2+3\left(m-1\right)x+2=-x+2\)

\(\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y=2\) hoặc \(\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+2mx+3m-2=0\left(2\right)\)

Đường thẳng  \(\left(\Delta\right)\) cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt A (0;2); B; C

\(\Leftrightarrow\) Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0\\g\left(0\right)\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2-3m+2>0\\3m-2\ne0\end{cases}\)

                           \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>2;m<1\\m\ne\frac{2}{3}\end{cases}\)

Gọi \(B\left(x_1;y_1\right)\) và \(C\left(x_2;y_2\right)\) trong đó \(x_1;x_2\) là nghiệm của (2) :

                                 \(y_1=-x_1+2\) và \(y_1=-x_2+2\)

Ta có \(h=d\left(M.\left(\Delta\right)\right)=\frac{\left|3+1-2\right|}{\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow BC=\frac{2S_{MBC}}{h}=\frac{2.2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\)

Mà \(BC^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=2\left[\left(x_2+x_1\right)^2-4x_2x_1\right]=8\left(m^2-3m+2\right)\)

Suy ra \(8\left(m^2-3m+2\right)=16\Leftrightarrow m=0\) (thỏa mãn) hoặc m=3 (thỏa mãn)

Vậy m = 0 và m = 3 là giá trị cần tìm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Biện luận nghiệm của phương trình dựa trên đồ thị hàm số

Giao điểm của đồ thị phân thức